Question

如图一,在四边形ABCD中,已知AB=BC=CD,角BAD角CDA均为锐角,点P是对角线BD上的一点,

如图一，在四边形ABCD中，已知AB=BC=CD，角BAD角CDA均为锐角，点P是对角线BD上的一点，PQ\\BA交AD于点Q，PS\\BC交DC于点S，四边形PQRS是平行四边形。
（1）当点P与点B重合时，图一变为图二，若角ABD=90度，求证三角形ABR全等于三角形CRD
（2）对于图一，若四边形PRDS也是平行四边形，此时，你能推出四边形ABCD还应满足什么条件？
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要过程

Answer 1

（1）证明：∵∠ABD=90°，AB‖CR，∴CR⊥BD ，∵BC=CD，∴∠BCR=∠DCR………2分
∵四边形ABCR是平行四边形，∴∠BCR=∠BAR∴∠BAR=∠DCR………3分
又∵AB=CR，AR=BC=CD，∴△ABR≌△CRD………4分．
（2）四边形ABCD还应满足BC‖AD，∠CDA=60°…………5分
由PS‖QR，PS‖RD知，点R在QD上（R、Q、D三点共线），故BC‖AD。…………6分
又由AB=CD知∠A=∠CDA ，因为SR‖PQ‖BA，所以∠SRD=∠A=∠CDA，从而SR=SD。……………7分
由PS‖BC及BC=CD知SP=SD。而SP=DR，所以SR=SD=RD，
故∠CDA=60°。………8分
（注：若推出的条件为BC‖AD，∠BAD=60°或BC‖AD，∠BCD=120°等亦可。）

Answer 2

（1）证明：∵∠ABD=90°，AB‖CR，∴CR⊥BD ，∵BC=CD，∴∠BCR=∠DCR
∵四边形ABCR是平行四边形，∴∠BCR=∠BAR∴∠BAR=∠DCR
又∵AB=CR，AR=BC=CD，∴△ABR≌△CRD
（2）四边形ABCD还应满足BC‖AD，∠CDA=60°
由PS‖QR，PS‖RD知，点R在QD上（R、Q、D三点共线），故BC‖AD。
又由AB=CD知∠A=∠CDA ，因为SR‖PQ‖BA，所以∠SRD=∠A=∠CDA，从而SR=SD。
由PS‖BC及BC=CD知SP=SD。而SP=DR，所以SR=SD=RD，
故∠CDA=60°。
（注：若推出的条件为BC‖AD，∠BAD=60°或BC‖AD，∠BCD=120°等亦可。）

Answer 3

（2）解：由PS∥QR，PS∥RD知，点R在QD上，
故BC∥AD．
又由AB=CD知∠A=∠CDA，
因为SR∥PQ∥BA，

所以∠SRD=∠A=∠CDA，从而SR=SD．
由PS∥BC
∴△DCB∽△DSP，
∵BC=CD，
∴SP=SD．而SP=DR，
所以SR=SD=RD，
故∠CDA=60°．
因此四边形ABCD还应满足BC∥AD，∠CDA=60°．