Question

在三角形ABC中，角A B C所对的边分别为a b c ，且tan C=sinA+sinB/cos

在三角形ABC中，角A B C所对的边分别为a b c ，且tan C=sinA+sinB/cosA+cosB，sin（B-A）=cosC
（1）求角A，C。
（2）若三角形的面积等于3+根号3，求a, c。

Answer 1

解答：
（1）
∵ tanC=(sinA+sinB)/(cosA+cosB)，
∴ sinC/sinC=(sinA+sinB)/(cosA+cosB)
∴ sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB,
∴ sin(C-A)=sin(B-C).
∴ C-A=B-C或(C-A)+(B-C)=π（舍）
∴ 2C=A+B
∴ 3C=A+B+C=π
∴ C=π/3
∴ A+B=2π/3
∵ sin(B-A)=cosC=1/2
∴ B-A=π/6
∴ A=π/4
即 A=π/4,C=π/3
（2）B=5π/12
利用正弦定理a/sinA=c/sinC
∴ a/c=sinA/sinC=(√2/2)/(√3/2)=√2/√3
设a=√2t,c=√3t
S=(1/2)ac*sin(5π/12)
=(1/2)*√6 *t^2*(√6+√2)/4=3+√3
∴ t²=8(3+√3)/(6+2√3)=4
∴ t=2
即 a=2√2，c=2√3