Question

已知函数F(x)=2/3x*3+1/2mx*2-m*2x+1,x属于R。讨论F(x)的单调性

还有。若F(x)图像上不存在与直线y=-2+1平行或重合的切线，求m范围！急！！要详细过程！

Answer 1

已知函数f(x)=2/3x^3+1/2mx^2-(m^2)x+1，x∈R，讨论f(x)的单调性。
解：将函数求导
f`(x)=2x^2+mx-m^2
导函数图像为开口向上的抛物线
△=m^2+8m^2=9m^2≥0
导函数有实数根。
用万能公式解得
x=m/2或者-m
讨论m的值
（1）当m/2=-m时，即m=0
f`(x)≥0
∴函数f(x)=2/3x^3+1/2mx^2-(m^2)x+1在定义域R内为单调递增。
（2）当m/2＜-m时，即m＜0
∴当x∈[m/2,-m]时，f`(x)≤0，函数f(x)=2/3x^3+1/2mx^2-(m^2)x+1在此定义域内为单调递减。
当x∈(-∞,m/2],[-m,+∞)时，f`(x)≥0，函数f(x)=2/3x^3+1/2mx^2-(m^2)x+1在此定义域内为单调递增。
（3）当m/2＞-m时，即m＞0
∴当x∈[-m,m/2]时，f`(x)≤0，函数f(x)=2/3x^3+1/2mx^2-(m^2)x+1在此定义域内为单调递减。
当x∈(-∞,-m],[m/2,+∞)时，f`(x)≥0，函数f(x)=2/3x^3+1/2mx^2-(m^2)x+1在此定义域内为单调递增。

第二问：
由第一问可知，f`(x)=2x^2+mx-m^2
∵F(x)图像上不存在与直线y=-2x+1平行或重合的切线
∴函数f(x)的导函数f`(x)的值域不包含-2这个数值。
导函数的函数图像是开口向上的抛物线，
故f`(x)＞-2
即2x^2+mx-m^2＞-2
2x^2+mx-m^2+2＞0恒成立
△=m^2-8(-m^2+2)＜0
m^2+8m^2-16＜0
9m^2-16＜0
m^2＜16/9
-4/3＜m＜4/3