Question

证明，x＞0时，x＞㏑(1+x)＞x除以1+x

Answer 1

设f(x)=e^x-(1+x)
f(x)′=e^x-1
∵x＞0
∴f(x)′＞0
∴f(x)在(0,∽)上单调递增
∴f(x)＞f(0)=1-(1+0)=0
∴e^x-(1+x)＞0
∴e^x＞(1+x)
∴ln(e^x)＞ln(1+x)
∴x＞lnI1+x)

设f(x)=In(1+x)-x/(1+x)
f(0)=0,
f(x)'=x/(1+x)^2
当 x>0,f'>0, 所以函数递增
故 x>0 时，f(x)>0 即 In(1+x)>x/(1+x)

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Answer 2

设f(x)=(1+x)ln(1+x)-x
求导
f'(x)=ln(1+x)+1-1=ln(1+x)
当 x+1=1 即 x=0是取得极小值
f(0)=0
所以当 x>0 时
f(x)>0
即 当x＞0时，（1+x）㏑（1+x）＞x

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