Question

已知圆C：（x-1)^2+(y-2)^2=25，直线 L ：（2m +1）x+（m+1）y=7m+

已知圆C：（x-1)^2+(y-2)^2=25，直线 L ：（2m +1）x+（m+1）y=7m+4（m∈R） 1）求证：不论m取什么实数时，直线 L与圆恒相 交 2）求直线 L与圆C截得的线段的最短长度以及此 时直线 L 的方程。

Answer 1

（1）这道题无论是用联立两个方程计算判别式还是计算圆心C到直线l的距离都较为繁琐，需要另辟蹊径。
证明直线与圆相交，除了上面的两个方法外，还可以证明存在直线上的点位于圆内，在这题中，如果能找到一个在圆C内的点P，而且无论m取何值，l都过P点，那么这题就能迎刃而解。
不难发现，直线l恒过(3,1)，记为P，且P在圆C内，所以l与圆恒相交。

（2）当直线 l与圆C截得的线段的最短时，圆心C与l的距离最长。何时最长呢？画个图不难发现，当PC⊥l时圆心C与l的距离最长。再根据PC的斜率与l的斜率乘积为-1，求得m=-3/4。