Question

如图,抛物线y=ax的平方+4与x轴交于A,B两点（A左B右），与y轴交于C，AB=4.以AC为直

角边作等腰直角△ACD，AD交抛物线于点P，求点P坐标

Answer 1

解：（1）因为抛物线的方程为y = ax2+ 4，所以图像以y轴为对称轴，点A和点B关于y轴对称，由已知AB = 4，所以点A(-2，0)，点B(2，0)，代入抛物线的方程可得0 = a*22+ 4，所以4a = -4，解得a = -1，代入可得抛物线的解析式为y = -x2+ 4 ；

（2）令x = 0，所以y = 4，所以点C(0，4)，所以直线CA的斜率为kCA= (0 – 4)/(-2 – 0) = -4/(-2) = 2，因为等腰直角三角形ACD中AC是直角边，所以CA⊥CD，所以kCA*kCD = -1，解得kCD= -1/2，所以直线LCD：y = (-1/2)x+ 4，所以CD = √[1 + (-1/2)2]*xD= CA = √[(0 – 4)2 + (-2 – 0)2] = 2√5，化简可得(√5/2)xD = 2√5，因此xD= 4，代入LCD 的方程可得yD = 2，所以点D(4，2)，所以kAD = (0 – 2)/(-2 – 4) = -2/(-6) = 1/3，所以LAD：y = (1/3)(x + 2)，与抛物线的方程联立可得(x + 2)/3 = -x2 + 4，去分母得x + 2 =-3x2 + 12，移项可得3x2 + x – 10 = 0，因式分解(x + 2)(3x – 5) = 0，所以x = -2或者x = 5/3，所以点P(5/3，11/9) 。

综上所述，点P的坐标为(5/3，11/9) 。