Question

设函数f（x）=ax-（k-1）a-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数． （1）求k值；

（2）若f（1）＜0，试判断函数单调性并求使不等式f（x2+tx）+f（4-x）＜0恒成立的t的取值范围；
（3）若f（1）=3
2
，且g（x）=a2x+a-2x-2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，求m的值．

Answer 1

解：（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0
∴1-（k-1）=0，∴k=2
（2）∵函数f（x）=ax-a-x（a＞0且a≠1），
∵f（1）＜0，∴a-1/a ＜0，又 a＞0，
∴1＞a＞0．由于y=ax单调递减，y=a-x单调递增，故f（x）在R上单调递减．
不等式化为f（x2+tx）＜f（x-4）．
∴x2+tx＞x-4，即 x2+（t-1）x+4＞0 恒成立
∴△=（t-1）2-16＜0，解得-3＜t＜5
（3）∵f（1）=3/2, ,a-1/a=3/2即2a2-3a-2=0，∴a=2
∴g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）2-2m（2^x-2^-x）+2
∵x≥1，∴t≥f（1）=3/2
令h（t）=t^2-2mt+2=（t-m）^2+2-m^2　（t≥3/2)
若m≥3/2 ，当t=m时，h（t）min=2-m^2=-2
∴m=2