Question

已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c f0=0 f1=1 fx在（-2，1/4）上有极小值 求a的取值范围

Answer 1

答：
f(x)=x^3+ax^2+bx+c
f(0)=0+0+0+c=0，c=0
f(1)=1+a+b+c=1
所以：a+b=0，b=-a
所以：
f(x)=x^3+ax^2-ax
求导：
f'(x)=3x^2+2ax-a
在（-2，1/4）上存在极小值
则f'(x)=0在上述区间存在两个零点
所以：
判别式=(2a)^2-4*3*(-a)=4a^2+12a>0，a>0或者a<-3
对称轴x=-2a/(2*3)=-a/3在区间上：-2<-a/3<1/4，-3/4<a<6
f'(-2)=12-4a-a=12-5a>0，a<12/5
f'(1/4)=3/16+a/2-a=3/16-a/2>0，a<3/8
综上所述，0<a<3/8

追问

为什么存在极小值就是有两个零点

追答

哦，我还搞错了另外一个情况，当f'(-2)0仅存在一个零点的时候也可以
存在极小值就是函数在该区间上存在先减后增的过程
f'(2)=12-5a12/5
f'(1/4)=3/16-a/2>0，a<3/8
所以：这种情况不存在a值满足条件
综上所述，0<a<3/8