Question

常数项级数求和

Answer 1

　　就这个还叫简答题，什么老师？
　　注意到
　　　(n+1)² = (n+1)+(n+1)n，
作幂级数
　　　f(x) =∑(n≥0)(n+1)x^n，g(x) = ∑(n≥1)(n+1)nx^(n-1)，|x|<1，
于是，
　　　∫[0,x]f(t)dt = ∑(n≥0)(n+1)∫[0,x](t^n)dt = ∑(n≥0)x^(n+1) = x/(1-x)，|x|<1，
求导，得
　　　f(x) =1/(1-x)²，|x|<1；
因此
　　　∫[0,x]g(t)dt = ∑(n≥1)(n+1)n∫[0,x][t^(n-1)]dt = ∑(n≥1)(n+1)x^n = f(x)-1 = -1+1/(1-x)²，|x|<1，
求导，得
　　　g(x) = 2/(1-x)³，|x|<1。
这样，
　　　g.e. = f(1/2)+(1/2)*g(1/2) = ……