Question

设f(x)=1/(1+x+x^2),求f(0)的100阶导数

答案是-100！。运用幂级数的知识。

Answer 1

解：
将 f(x）在 点 x＝0 处展开成泰勒级数， 则
f(x) = ( k= 0 -- +∝ ∑{ [f(x) 的k阶导数在x＝0 处的值]/k!}
而
f(x)=1/(1+x+x^2)= ( k= 0 -- +∝ )∑(x+x^2)^k
= ( k= 0 -- 49 )∑(x+x^2)^k + ( k= 50 -- 100 )∑(x+x^2)^k + ( k= 101 -- +∝ )∑(x+x^2)^k
上式中，第一部分的最高幂次为

由二项式定理，
(x+x^2)^k = ∑C(k,m)*x^(k-m)*x^(2*m) = ∑C(k,m)*x^(k+m)
其中： m ≤ k ； C(k,m) =
令 k+m = 100, 可知 幂 x^100 的系数为
a = C(100,0)+ C(99,1)+ C(98,2)+ C(97,3)+ ... + C(51,49)+ C(50,50)
故
f(x) 的k阶导数在x＝0 处的值] = 100! * a
= 100! * [C(100,0)+ C(99,1)+ C(98,2)+ C(97,3)+ ... + C(51,49)+ C(50,50)]

追问

复制黏贴可不好哦……而且答案也不对

追答

-100!（100的阶乘的相反数）