Question

数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=1/3×Sn，n=1,2,3，...求{an}的通项公式，a2+a4+a6+....+a2n的值

Answer 1

(1)a(n+1)=1/3Sn
an=1/3S(n-1)
两式左右分别相减得到
a(n+1)-an=1/3an
a(n+1)=4/3an
又因为a1=1
所以{an}是首项为1，公比为4/3的等比数列
an=(4/3)^(n-1)

(2)
a2+a4+...+a2n
=1/3+1/3*(4/3)^2+1/3*(4/3)^4+ ...+1/3*(4/3)^(2n-2)
=1/3*((16/9)^0+(16/9)^1+(16/9)^2+...+(16/9)^(n-1))
=1/3*(1-(16/9)^n)/(1-16/9)=3/7*((16/9)^n-1)