Question

已知函数f(x)=ax^2+bx+c(a>b>c),点A(x1,y1)B(x2,y2)是该函数图像上的点

已知函数f(x)=ax^2+bx+c(a>b>c),点A(x1,y1)B(x2,y2)是该函数图像上的点，且满足a^2+a(y1+y2)+y1y2=0 求证 b≥0 问是否能够保证f（x1+3）和f（x2+3）中至少有一个为正数？

Answer 1

这个题目是错的,
下面是从反正两方面来证明题目是错的
一）反证法
从你的的题目的三个限制条件:
1）f(x)=ax^2+bx+c
2)两个点在曲线上A（X1，Y1）B（X2，Y2）
3）a^2+a(y1+y2)+y1y2=0
只要找到一组 a,b,c 和两个点同时满足以上三个条件并且 b<0 ,就能证明出b并不一定大于等于零就能满足上述3个条件——也就是题目是错的
令 a=1 b= -10，c=-25是时得 y=x^2-10x-25，(同时也满足1>-10>-25）令 y=-1,解方程则可得A(12，-1) B（-2，-1）两个点在曲线上
将a=1和A，B两点的纵坐标带入条件3可得 1^2+1*(-1-1)+(-1)*(-1)=2-2=0
即有a=1 b= -10，c=-25 y1=y2=-1 ,同时满足三个条件，但此时b=-10 ,也就说明了b<0 时题设也成立，即得到他的否命题——b并非〉=0
二）正证法
由条件3得a^2+a(y1+y2)+y1y2=0得(a+y1)(a+y2)=0
得 y1=-a或y2=-a
由 条件2 AB在曲线上得
f(x) 与 y=-a 有交点
即 -a = ax^2+bx+c 有解
即 ax^2+bx+c+a =0有解
也就是△=b^2-4a(a+c)≥0
再加上条件（a>b>c)
也就得到不等式组
{b^2-4a(a+c)≥0
{a>b>c
分别讨论 0>a>b>c
a>0>b>c
a>b>0>c
三种情况发现并不是只有b≥0时不等式组才成立，也就是这个题目是错的，
其实，即便这个题目是对的，解这样的题目根本一点吊用处也没有，中国的所谓教育家净出这样的繁杂的没有什么代表意义的题目，使中学生起早贪黑的，浪费他们宝贵本来可以学习更多知识的时间，更重要的是会让他们失去对数学的兴趣，看看近代科学史上有几个定理原理的是出自中国人的大脑就行了，看看数学史那些重要的公式没有一个不是简洁明了，又顺理成章，
让我们高呼中国教育是一坨屎吧~~
完全可以利用做这些题目时间去学习， 行列式，矩阵，，这样上了大学后面对众多的物理等理论课的时候才不会茫然失措