Question

高一数学函数，急！

已知函数f(x)=lg[(a^2-1)x^2+(a+1)x+1]
（1）若f(x)的定义域为R，求a的取值范围
（2）若f(x)的值域为R，求a的取值范围
今天就需要过程 ，谢谢！~

Answer 1

函数f(x)=lg[(a²-1)x²+(a+1)x+1]

（1）若f(x)的定义域为R，
则对任意的实数，(a²-1)x²+(a+1)x+1>0恒成立，
①当a= -1时，不等式(a²-1)x²+(a+1)x+1>0
可化为1>0，显然恒成立，
∴a= -1符合题意；

②当a=1时，不等式(a²-1)x²+(a+1)x+1>0
可化为2x+1>0，显然不能恒成立，
∴a= 1不符合题意，舍去；

③当a≠±1时，要使得(a²-1)x²+(a+1)x+1>0恒成立，
则必有a²-1>0，且(a+1)²-4(a²-1)<0
得a<-1，或a>1，且3a²-2a-5>0
a<-1，或a>1，且a<-1，或a>5/3，
∴a<-1，或a>5/3，

综上，a的取值范围是a≤-1，或a>5/3.

（2）.若f(x)的值域为R，
则真数(a²-1)x²+(a+1)x+1必须取遍所有正实数，
①当a= -1时， (a²-1)x²+(a+1)x+1=1，真数只取一个值1，
∴a= -1不符合题意，舍去；

②当a=1时， (a²-1)x²+(a+1)x+1可化为2x+1，
而2x+1可以取到所有正实数，
∴a= 1符合题意；

③当a≠±1时，要使得(a²-1)x²+(a+1)x+1取遍所有正实数，
则必有a²-1>0，且(a+1)²-4(a²-1)≥0
得a<-1，或a>1，且3a²-2a-5≤0
a<-1，或a>1，且-1≤a≤5/3，
∴1<a≤5/3，

综上，a的取值范围是1≤a≤5/3.

哇，一会儿楼上的大伙算出这么多答案，楼主你要仔细看哦！

Answer 2

(1)由题意得知(a^2-1)x^2+(a+1)x+1>0可以得出：
a^2-1>0时，(a-1)^2-4(a^2-1)<0则a>5/3
a=-1时，满足条件;a≠1时，2x+1(x属于R)有可能小于0；
综合得a>5/3或者a=-1
(2)由题意得知(a^2-1)x^2+(a+1)x+1>0同理可以得出
a^2-1>0时，(a-1)^2-4(a^2-1)<0则a>5/3
a=-1时，满足条件;
但当a≠1时，2x+1(x>-1/2)有大于0
综合得a>5/3或者a=±1

Answer 3

(1)(a^2-1)x^2+(a+1)x+1>0恒成立
a=-1
或a^2-1>0,(a+1)^2-4(a^2-1)<0

a=-1 huo1<a<5/3
(2)a^2-1>0 (a+1)^2-4(a^2-1)>=0
a<-1,huo a>=5/3