Question

一道数学分析证明题，函数连续性

证明： 若f（x） 在[a,b]上连续， 则函数m（x）=inf（f（t）） (其中a<t<x） 和 M（x）=sup（f（t）） (其中a<t<x） 在[a,b]上连续 （急） （书上有证明但是好像不太对，高人给个严密的）

Answer 1

下面只证明M（x）在[a,b]上连续， m(x) 的证明类似。

任给 x0 属于[a,b]:

情形1. f(x0) = M（x),
任给 e > 0, 根据连续性，存在t > 0, 使得 当 x属于 x0 的 t-邻域时，|f(x)-f(x0)|<e. 于是：

1. M(x) > f(x0) - e = M(x0) - e.
2. 如果 x < x0, 显然 M(x) <= M(x0), 如果 x > x0, M(x) = sup{M(x0),f(s)}, x0<s<x 此式 < M(x0) + e.
所以 |M（x) - M(x0)| < e. 所以连续

情形2. f(x0) < M（x),
根据连续性，存在 t1 >0, 使得在 x0 的 t-邻域时，|f(x)-f(x0)|< M（x) - f(x0)。 在此邻域， M(x)=M(x0) 是常值，所以连续。