Question

关于微分定义中的高阶无穷小o(Δx)的疑问。

微分的定义：设函数y = f(x)在x的邻域内有定义，x0及x0 + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) − f(x0)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小，那么称函数f(x)在点x0是可微的，且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy = AΔx。
我想问的是Δx并不一定是无穷小，表达式中怎么能出现Δx的高阶无穷小o(Δx)呢？
我数学一直不好，希望各位数学高手说详细点，谢谢。

Answer 1

你说的对,利用微分进行近似计算时,Δx并不是无穷小量,而是一个确定的量,无穷小是一个以零为极限的变量,确定的量不可能是无穷小量,但是为什么在上面微分的定义中却使用了高阶的无穷小o(Δx)的概念,表达式o(Δx)表示的是比Δx趋于零的速度快的无穷小量,这就意味着Δx也是无穷小量,要搞懂为什么,首先需要搞懂微分的定义.

函数的增量Δy表示为两个量之和：Δy=AΔx+o(Δx)，Δy,AΔx,o(Δx)均是确定的量,这里的等式是通常意义下的等式,该表达式是个“静态的”,将一个量表示为两个量之和的方法很多,这里要求将增量Δy表示为两个量之和,要求其中一个量应是自变量增量的一个倍数,另一个变量是当自变量增量Δx趋于零时,它比Δx趋于零的速度快,为了确定或刻划这两个量的特征用了“动态的”形式,一般地,一个量A表示为另外两个量B,C之和A=B+C,为确定或刻划量B,C的特证,可加一些“动态的”条件,即如果B按某种方式变化了,需要C按另外一种方式变化,当然前提是两个量B,C之间是“关联的”,不是独立的.

因此将那个是自变量增量倍数的量记为AΔx,将那个当自变量增量Δx趋于零时,它比Δx趋于零的速度快的量记为o(Δx),如果Δx是确定的量,则o(Δx)= Δy-AΔx也是确定的量,只有当Δx→0时,才体现出符号o(Δx)的含义,它是比Δx趋于零的速度更快的无穷小量.

这就回答了你的提问,为了更好地理解微分的概念,需要了解微分和积分之间的关系,下面就谈谈微分和积分之间的关系.

如果能将函数的增量Δy表示为上述特征的两个量之和，其中AΔx就称为对应于自变量增量Δx的微分,记为dy.
如果变量y是变量x的函数y=f(x),由Δy=AΔx+o(Δx)得Δy/Δx=A+o(Δx)/Δx,当Δx→0时,由高阶无穷小的定义可知o(Δx)/Δx→0,Δy/Δx→A,从而可知A是f(x)的1阶导数,A=f′(x).
微分不单纯是为了近似计算,它有着更深刻的理论意义.由高阶无穷小量的定义可知,当Δx→0时,o=o(Δx)/Δx→0,故高阶无穷小量o(Δx)可表示为o(Δx)=oΔx,其中当Δx→0时,o→0,将自变量变化范围[a,b]分为一些小区间
a=x0<x1<x2<…<xn=b

每个小区间函数的增量分别为Δy1,Δy2,…,Δyn,显然
f(b)-f(a)=Δy1+Δy2+…+Δyn
=f′(x1)Δx1+o(Δx1)+f′(x2)Δx2+o(Δx2)+…+ f′(xn)Δxn+o(Δxn)
=f′(x1)Δx1+o1Δx1+f′(x2)Δx2+o2Δx2+…+ f′(xn)Δxn+onΔxn
=f′(x1)Δx1+f′(x2)Δx2+…+ f′(xn)Δxn+o1Δx1+…+onΔxn，
显然Δx1+Δx2+…+Δxn=b-a，并当每个子区间的长Δxi→0时，o1→0,o2→0,…,on→0，容易证明o1Δx1+…+onΔxn→0，故
f′(x1)Δx1+f′(x2)Δx2+…+ f′(xn)Δxn→f(b)-f(a)
上式左边恰是f′(x)在[a,b]的(有限)积分和,其极限是f′(x)在[a,b]的积分，故有
f′(x)在[a,b]的积分=f(b)-f(a)
这不恰是Newton-Leibnitzi公式吗？

每个子区间对应的微分加起来,当所有小区间的长趋于零时,该和的极限恰是f′(x)在[a,b]的积分.即函数在每个子区间微分的无限和恰是该函数在区间上的积分.积分是无限多个微分之和,从中也看出了微分和积分之间的关系.

Answer 2

帮助你提供两种非常通俗的理解方式：
1.第一个例子相当于余数，比如：
17=3*5+2，2是他的余数，举这个例子，主要是说明，后面必须有个尾巴，不能直接写成Δy = AΔx 。
2、第二个例子：
1=0.9999.....+0.0000.....1；举这个例子主要是说明，在微分定义里，后面这个尾巴应该非常小（或叫高阶无穷小）；因为尽管0.999.....很接近于1，但必须还要加上一个非常小的一个数，才能等于1。

Answer 3

Δx是可以任意取值的。当任意取值的时候，|Δx|的值可以取任意小。那么这个其实描述了Δx趋于0的一个过程。Δx，在这里就可以视为一个无穷小量。所以就有了高阶无穷小的提法。

Answer 4

已经说了在x的邻域内，邻域本身无穷小的，这里说的Δx是Δx->0的，也就是后面你要学的dx，微分的定义就是当Δx->0时 Δy/Δx = A 存在 ， 所以在这里本身是有Δx->0的前提，而o(Δx)是Δx的高阶无穷小，所以在这里其实是相对于Δx忽略不计的，所以在记为dy=Adx时 是忽略的
不知道这样说你能明白么 已经很通俗了

Answer 5

无穷小是指某个“函数”在“某点处”的“性态”,而不是指某个确切的数。
（比如y=x,是x=0处的无穷小量）
微分的定义中隐喻的指Δx是一个以Δx为自变量的的函数即Δx=m(Δx),显然该函数是Δx=0处的无穷小量；而o(Δx)依然是Δx的函数，是Δx=0处的无穷小量，并且满足lim(o(Δx)/Δx)=0(这是定义中“o(Δx)是比Δx高阶的无穷小”的含义），即高阶无穷小是两个函数在“某点处”性态的关系，而不是要在整个区间都满足。