Question

一个高中奥数题

正整数可以分为两个互不相交的正整数子集:
｛f(1),f(2),f(3)...f(n)...｝;｛g(1),g(2),g(3)...g(n)...｝
其中f(1)<f(2)<f(3)<...<f(n)<...

g(1)<g(2)<g(3)<...<g(n)<...

且 g(n)=f(f(n))+1 (n>=1)

求:f(240)

要求完整过程.

Answer 1

解：因为正整数可以分为两个互不相交的正整数子集:
且g(n)=f(f(n))+1，故：g(1)=f(f(1))+1＞1
故：f(1)最小，故：f(1)＝1
故：g(1)＝2
故：f(2)、g(2)均大于等于3
又：g(n)=f(f(n))+1，故：g(2)=f(f(2))+1＞f(3) ＞f(2)
故：f(2)＝3，f(3)＝4
故：g(2)=f(f(2))+1＝f(3)＋1＝5
又：g(3)=f(f(3))+1＝f(4)＋1＞f(4)
故：f(4)＝6，g(3)＝7
又：g(4)=f(f(4))+1＝f(6)＋1＞f(6) ＞ f(5)
故：f(5)＝8，f(6)＝9，g(4)＝10
又：g(5)=f(f(5))+1＝f(8)＋1＞f(8)＞f(7)
故：f(7)＝11，f(8)＝12，g(5)＝13
又：g(6)=f(f(6))+1＝f(9)＋1＞f(9)
故：f(9)＝14，g(6)＝15
又：g(7) ＝f(f(7))+1＝f(11)＋1＞f(11)＞f(10)
故：f(10)＝16，f(11)＝17，g(7)＝18
又：g(8) ＝f(f(8))+1＝f(12)＋1＞f(12)
故：f(12)＝19，g(8)＝20
又：g(9) ＝f(f(9))+1＝f(14)＋1＞f(14)＞f(13)
故：f(13)＝21，f(14)＝22，g(9)＝23
又：g(10) ＝f(f(10))+1＝f(16)＋1＞f(16)＞f(115)
故：f(15)＝24，f(16)＝25，g(10)＝16

我们看看f(n)的规律：
f(1)＝1，f(2)＝3，f(3)＝4，f(4)＝6，f(5)＝8，f(6)＝9，f(7)＝11，f(8)＝12，f(9)＝14，f(10)＝16，f(11)＝17，f(12)＝19，f(13)＝21，f(14)＝22，…
（1、3、4、6，8，9，11，12）、（14，16，17，19，21，22，24，25）、…(378,…..，389)
故：f(240)=f(8)+13×(240/8-1)=12+13×(30-1)=389