Question

已知x、y、z都是非负实数，且x＋y＋z＝1．

已知x、y、z都是非负实数，且x＋y＋z＝1．求证：x(1－2x)(1－3x)＋y(1－2y)(1－3y)＋z(1－2z)(1－3z)≥0，并确定等号成立的条件．

Answer 1

证明：因为不等式(1)关于x,y,z全对称,所以,不妨设x>=y>=z．(a) 当y=z=0时,x=1,不等式(1)显然成立．(b) 当z=0,xy>0时,x+y=1, x (1-2x) (1-3x) +y (1-2y) (1-3y) +z (1-2z) (1-3z) =x (1-2x) (1-3x) +y (1-2y) (1-3y) =x (y-x) (1-3x) +y (x-y) (1-3y) = (x-y) [y (1-3y) -x (1-3x) ] = (x-y) [(y-x) -3 (y2-x2) ] =(x-y) 2 [3 (x+y) -1] =2(x-y) 2 >=0．(c) 当xyz>0时, x (1-2x) (1-3x) +y (1-2y) (1-3y) +z (1-2z) (1-3z) =x (1-2x) [(y-x) + (z-x) ] +y (1-2y) [(z-y) + (x-y) ] +z (1-2z) [(x-z) + (y-z) ] = (x-y) [y (1-2y) -x (1-2x) ] + (y-z) [z (1-2z) -y (1-2y) ] + (x-z) [z (1-2z) -x (1-2x) ] = (x-y) [(y-x) -2 (y2-x2) ] + (y-z) [(z-y) -2 (z2-y2) ] + (x-z) [(z-x) -2 (z2-x2) ] =(x-y) 2 [-1+2 (y+x) ] +(y-z) 2 [-1+2 (z+y) ] +(x-z) 2 [-1+2 (z+x) ] =(x-y) 2 (1-2z) +(y-z) 2 (1-2x) +(x-z) 2 (1-2y) (2) xyz,x+y+z=1, x-zy-z0,1-2z1-2y0, 于是 (2)式的右边 (y-z) 2 (1-2x) +(y-z) 2 (1-2y) =(y-z) 2 [(1-2x) + (1-2y) ] =2(y-z) 2 [1- (x+y) ] =2z(y-z) 20． (3)由(2)、(3)两式知,不等式(1)成立． 综上所述,对于非负实数x,y,z,不等式(1)恒成立．由对称性可知,等号成立的条件为：x=y= 12,z=0；或y=z= 12,x=0；或z=x= 12,y=0；或x=y=z= 13．

Answer 2

非负 相加=1 xyz都介于0到1之间所以一次三项式各项都等于零时等号成立即0 0.5 1/3 0 一式不成立 1/3成立 条件是当且仅当X=Y=Z=1/3式，等取等