Question

高数无穷小的题：

1.
2.
3.





Answer 1

1. 当x→0时【0，x²】[∫ln(1+t²)dt]是x^(2/3)的几阶无穷小？

   解：x→0lim{【0，x²】[∫ln(1+t²)dt]/x^(2/3)}=x→0lim[2xln(1+x⁴)]/[(2/3)x^(-1/3)]

   =x→0lim[3x^(4/3)ln(1+x⁴)]=0，故当x→0时【0，x²】[∫ln(1+t²)dt]是x^(2/3)的高阶无穷小。

2. 当x→0时，下列各个函数f(x)∽kxⁿ，求k和n。

   (1)。x→0lim[ln(2x²+e^2x)]/kxⁿ=x→0lim[(4x+2e^2x)/(2x²+e^2x)]/(nkxⁿ⁻¹)

   =x→0lim[(4x+2e^2x)]/[(2x²+e^2x)(nkxⁿ⁻¹)]

   =x→0lim[4+4e^(2x)]/[(4x+2e^2x)(nkxⁿ⁻¹)+(2x²+e^2x)n(n-1)kxⁿ⁻²]=1

   故n=2，k=4.

   (2)。x→0lim[【0，x】∫ln(1+arctant)dt]/(kxⁿ)=x→0lim[ln(1+arctanx)]/[nkxⁿ⁻¹)]

   =x→0lim{1/[(1+x²)(1+arctanx)]}/[n(n-1)kxⁿ⁻²]=1

   故n=2，k=1；

   (3)。x→0lim[sin(x+x³)-x]/(kxⁿ)=x→0lim[x³/(kxⁿ)]=x→0lim[(3x²)/(nkxⁿ⁻¹)]

   =x→0lim{(6x)/[n(n-1)kxⁿ⁻²]}=x→0lim{6/[n(n-1)(n-2)kxⁿ⁻³]}=1

   故n=3，k=1.

   (4)。x→0lim[ln(1+x+x²)-x]/(kxⁿ)=x→0lim[(1+2x)/(1+x+x²)-1]/(nkxⁿ⁻¹)

   =x→0lim[(x-x²)/(1+x+x²)(nkxⁿ⁻¹)]=x→0lim{(1-2x)/[(1+2x)(nkxⁿ⁻¹)+(1+x+x²)n(n-1)kxⁿ⁻²]}

   故n=2，k=1/2.

3. 当x→0⁺时，比较无穷小：α=【0，x】∫cost²dt，β=【0，x²】∫tan(√t)dt，

   γ=【0，√x】∫sint³dt  的阶。

   解：x→0⁺lim(α/β)=x→0⁺lim[(cosx²)/(2xtanx)]=x→0⁺lim[-(2xsinx²)/(2tanx+2xsec²x)]

   =x→0⁺lim[(-2x³)/(2sec²x+2sec²x+4xsec²xtanx)]=x→0⁺lim[(-2x³)/(4sec²x+4xsec²xtanx)]=0

   故α是比β高阶的无穷小。

   x→0⁺lim(α/γ）=x→0⁺lim{(cosx²)/[(1/√x)sinx^(3/2)]}=x→0⁺lim{[(√x)cosx²]/[sinx^(3/2)]}

   =x→0⁺lim{[(1/√x)cosx²-2x(√x)sinx²]/[(3/2)(√x)cosx^(3/2)]}

   =x→0⁺lim{[cosx²-2x²sinx²]/[(3/2)xcosx^(3/2)]}=∞；故α是比γ低阶的无穷小。

   
   

   
   

Answer 2

1 lim [S(0,x^2)ln(1+t^2)dt/x^(2k/3)= lim 2xln(1+x^4)/x^(2k/3-1)2k/3=lim 2x^5/x^(2k/3-1)2k/3=A
2k/3-1=5,k=9
9阶无穷小
2 （1）lim ln（e^2x+2x^2）/kx^n=lim(e^2x+2x^2-1)/kx^n=lim(2e^2x+4x)/knx^(n-1)=1
n-1=0,n=1,2/kn=1,k=2
(2)limS ...../kx^n=limln(1+arctanx)/knx^(n-1)=limarctanx/knx^(n-1)=limx/knx^(n-1)=1
n-1=1,n=2,1/kn=1,k=1/2
(3)lim{sin(x+x^3)-x}/kx^n=lim{(1+3x^2)cos(x+x^3)-1}/knx^(n-1)=lim{6xcos(x+x^3)-(1+3x^2)^2 sin(x+x^3)}/kn(n-1)x^(n-2)=
不会
3 lima/x^n=limcosx^2/nx^(n-1)=A n=1
limb/x^n=lim2xtanx/nx^(n-1)=lim2x^2/nx^(n-1)=A ,n=3
limr/x^n=lim 0.5x^(-1/2)sinx^(3/2)/nx^(n-1)=lim 0.5x/nx^(n-1),n=2
阶数从高到低b,r,a

追问

这一步lim ln（e^2x+2x^2）/kx^n=lim(e^2x+2x^2-1)/kx^n的理由？

追答

ln（e^2x+2x^2）=ln（1+e^2x+2x^2-1）~e^2x+2x^2-1
等价无穷小代换