Question

函数f（x)定义域(0,+∞），满足f(xy)=f(x)+f(y),f(1/2)=1,对0＜x＜y，都有f(x)＞f(y)，求f(1)

解f(-x)+f(3-x)≥-2

Answer 1

f(xy)=f(x)+f(y),
令x=1/2,y=1
f(1/2)=f(1/2)+f(1)
f(1)=0

f(-x)+f(3-x)≥-2
首先满足定义域:-x>0,3-x>0
x<0
f(-x)+f(3-x)=f(x^2-3x)
f(2*1/2)=f(2)+f(1/2)
f(2)=-1
f(4)=f(2*2)=f(2)+f(2)=-2
所以：f(x^2-3x)≥-2=f(4)
对0＜x＜y，都有f(x)＞f(y)
即：f(x)为减函数

有：x^2-3x≤4
(x-4)(x+1)≤0
-1≤x≤4

综合上述知道：-1≤x＜0

Answer 2

解：令x=1/2，y=1，得：
f（1/2）=f（1/2）+f（1）=1
∴f（1）=0
令x=y=1/2，得：
f（1/4）=2f（1/2）=2
∴-f（1/4）=-2
∴f（-x）+f（3-x）≥-f（1/4）
移项得：f（-x）+f（3-x）+f（1/4）≥0
∴f[（-x）×（3－x）×（1／4）]=f（1／4x²－3／4x）≥f（1）
根据已知可得：
-x＞0,3－x＞0，1／4x²－3／4x≤1同时成立（用大括号联立，打不出来……）

解出方程组即可求得答案，拜托自己解一下吧……

根据所学知识做的，并不保证绝对正确……呵呵~O(∩_∩)O~

Answer 3

f(-x)+f(3-x)=f(x(x-3))=f(x^2-3x)
由于0＜x＜y，都有f(x)＞f(y) 该函数单减
f(1/4)=f(1/2)+f(1/2)=2 也就是解x^2-3x<=1/4 个人觉得题目中应该是2不是-2

f(1)=f(1)+f(1) f(1)=0

Answer 4

f(1*1/2)=f(1)+f(1/2) f(1)=0
移项有f(x^2-3x)+2>=0
因为f(1/2)+f(1/2)=2=f(1/4)
所以f(x^2-3x)+f(1/4)>=0即 当x^2-3x>0时 有f(x^2/4-3x/4)>=0=f(1)
因为它是减函数
所以x^2/4-3x/4<=1解得
x^2-3x-4<=0 (x+1)(x-4)<=0
所以 -1<=x<=4 并且x(x-3)>0 所以x>3或者x<0 所以解为-1<=x<0 或者3<x<=4

Answer 5

f(1/2)=f(1*2)=f(1)+f(1/2)=1.f(1)=0.