Question

已知F1，F2分别是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a＞0，b＞0）的左、右焦点。过点F

1且谢率为k的直线与双曲线的右支交于点M，弱点M在x轴上的射影恰好是右焦点F2，且3/4＜k＜4/3，则离心率的取值范围？

Answer 1

点M在x轴上的射影恰好是右焦点F2
∴MF2⊥x轴
∴M的横坐标是c
代入x^2/a^2-y^2/b^2=1
MF2=b^2/a
F1F2=2c
k=Mf2/F1F2=b^2/a/(2c)=b^2/(2ac)
∵3/4＜k＜4/3
∴3/4<b^2/(2ac)<4/3
3/4<(c^2-a^2)/(2ac)<4/3
解得
(3e+1)(e-3)<0
(2e+1)(e-2)>0
∴-1/3<e<3
e<-1/2或e>3
∴2<e<3
离心率的取值范围2<e<3

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