Question

高中数学函数

设f(x)是定义在R上的偶函数，且当x>=0时，f（x）=e^x，若对任意的x∈[a,a+1],不等式f(x+a）>=f^2 (x)恒成立，则实数a的最大值是

Answer 1

解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，即f(x)=f(-x) 无论x取何值都有f(x)=f(|x|)
∴不等式f（x+a）≥f²（x）恒成立等价为f（|x+a|）≥f²（|x|）恒成立，
∵当x≥0时，f（x）=e^x．
∴不等式等价为e^|x+a|≥（e^|x|)²=e^(2|x|)恒成立，
即|x+a|≥2|x|在[a，a+1]上恒成立，
平方得x²+2ax+a²≥4x²，
即3x²-2ax-a²≤0在[a，a+1]上恒成立，
设g（x）=3x²-2ax-a²，
则满足g(a)≤0 g(a+1)≤0
g(a)＝3a²−2a²−a²≤0
g(a+1)＝3(a+1)²−2a(a+1)−a²≤0
即 4a+3≤0
∴a≤−3/4
故实数a的最大值是−3/4