Question

n行列式计算0 0 ...a1n

0 ... 0 a1n
0 ... a2,n-1 0
.
an1 .. 0 0

求这个n阶行列式的计算过程，尤其是（-1）上的次方求详细

Answer 1

把副对角线上的元素通过【依次交换】（而不是【对称交换】)的方法《换》到主对角线上来，需要交换 1+2+3+......+(n-1)=[1+(n-1)]*(n-1)/2=n(n-1)/2 次，故 (-1)上的次方数为 n(n-1)/2 。

追问

计算步骤写详细点可不可以

追答

这没什么计算步骤！只可意会。
【无论是由上而下的行交换，还是自左而右的列交换（或者反过来。）】

1）把r1【换】成rn,一行一行的【换】（即所谓 依次换，而不是直接和rn 对换）——r1与r2、r2与r3、...、rn-1与rn,需要【交换】 n-1 次；
2）此时 r1 是原来的r2,按同样的【换】法，换到 n-1行，需要【交换】n-2 次；
3）此时 r1 是原行列式的 r3 ,把它换到 rn-2 需要【交换】 n-3 次；
。。。
n-1)此时 r1 是原行列式的 rn-1,把它换到 r2 需要【交换】 1 次，
于是，总共交换了 1+2+3+。。。+（n-1) 次！

追问

疑问1：是要相邻的两行才能互换？不能r1跟rn换吗，为什么
2：我用∑a1nA1n怎么算出来是（n+1）n/2，不知道哪里弄错了

追答

回答：
1）不是说【不能】r1跟rn【对换】，而是这题的特征，用【对换】的方式效果不好！（结果和n的奇偶相关。）因此使用【依次交换】的方法。

2）你那样算，应该就只 [(-1)^(1+n)]a1nA1n 哪？依次降阶做下去，应该是：
（1+n)(1+n-1)+(1+n-2)+...+(1+2)=(3+n+1)（n-1)/2=(n+4)(n-1)/2
=[(n-1)n/2+2(n-1)]≠n(n+1)/2
你又没有给出计算过程，我当然不能指出【错误点】。不过我想，你大概忘记了二阶行列式展开以后就完了这个事实！
另外，虽然按你的方法 指数不是 n(n-1)/2 ，但 （-1）^[(n+4)(n-1)/2]=(-1)^[n(n-1)/2]

追问

为什么（-1）^[(n+4)(n-1)/2]=(-1)^[n(n-1)/2能相等啊，那算不算是对的呢

追答

(-1)^[(n+4)(n-1)/2}={(-1)^[n(n-1)/2]}*{(-1)^[2(n-1)]=[(-1)^n(n-1)/2]*1^(n-1)
=(-1)^n(n-1)/2

我觉得应该算对！【不过，提请你注意：我并不是老师！（一切还是要和老师沟通、商榷。）】

追问

谢谢

追答

也谢谢你采纳。还谢谢你给了我当众致谢的机会！谢谢！