Question

已知二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于A(x1,0)

Answer 1

（2013•内江）已知二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂）两点，与y轴交于点C，x₁，x₂是方程x²+4x-5=0的两根．
（1）若抛物线的顶点为D，求S_△ABC：S_△ACD的值；
（2）若∠ADC=90°，求二次函数的解析式．

 

解：（1）解方程x²＋4x－5＝0，得x＝﹣5或x＝1，
由于x1＜x2，则有x1＝﹣5，x2＝1，

∴A（﹣5，0），B（1，0）．
抛物线的解析式为：y＝a（x＋5）（x－1）（a＞0），
∴对称轴为直线x＝﹣2，顶点D的坐标为（﹣2，﹣9a），
令x＝0，得y＝﹣5a，
∴C点的坐标为（0，﹣5a）．
依题意画出图形，如右图所示，

则OA＝5，OB＝1，AB＝6，OC＝5a，
过点D作DE⊥y轴于点E，

则DE＝2，OE＝9a，CE＝OE－OC＝4a．
S⊿ACD＝S梯形ADEO－S⊿CDE－S⊿AOC

             ＝1/2﹙DE＋OA﹚·OE－1/2DE·CE－1/2OA·OC

             ＝1/2﹙2＋5﹚·9a－1/2×2×4a－1/2×5×5a

             ＝15a；

S⊿ABC＝1/2AB·OC

             ＝1/2×6×5a

              ＝15a；

∴S⊿ABC∶S⊿ACD＝1∶1。

（2）如解答图，过点D作DE⊥y轴于E
在Rt△DCE中，由勾股定理得：CD²＝DE²＋CE²＝4＋16a²，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC²＝OA²＋OC²＝25＋25a²，
设对称轴x=-2与x轴交于点F，则AF=3，
在Rt△ADF中，由勾股定理得：AD²＝AF²＋DF²＝9＋81a²．
∵∠ADC=90°，

∴△ACD为直角三角形，
由勾股定理得：AD²＋CD²＝AC²，
即（9＋81a²）＋（4＋16a²）＝25＋25a²，

化简得：a²＝1/6，

∵a＞0，

∴a＝√6/6，

∴抛物线的解析式为：y＝√6/6﹙x＋5﹚﹙x－1﹚

即 y＝√6/6x²－2√6／3·x－5√6/6。

Answer 2

（2013四川内江，28）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于点C，x1，x2是方程x2+4x-5=0的两根．
（1）若抛物线的顶点为D，求S△ABC：S△ACD的值；

解：解方程x²＋4x－5＝0，得x＝﹣5或x＝1，
由于x1＜x2，则有x1＝﹣5，x2＝1，
∴A（﹣5，0），B（1，0）．
抛物线的解析式为：y＝a（x＋5）（x－1）（a＞0），
∴对称轴为直线x＝﹣2，顶点D的坐标为（﹣2，﹣9a），
令x＝0，得y＝﹣5a，
∴C点的坐标为（0，﹣5a）．
依题意画出图形，如右图所示，
则OA＝5，OB＝1，AB＝6，OC＝5a，
过点D作DE⊥y轴于点E，
则DE＝2，OE＝9a，CE＝OE－OC＝4a．
S⊿ACD＝S梯形ADEO－S⊿CDE－S⊿AOC
＝1/2﹙DE＋OA﹚·OE－1/2DE·CE－1/2OA·OC
＝1/2﹙2＋5﹚·9a－1/2×2×4a－1/2×5×5a
＝15a；
S⊿ABC＝1/2AB·OC
＝1/2×6×5a
＝15a；
∴S⊿ABC∶S⊿ACD＝1∶1。
向左转|向右转

（2）若∠ADC=90°，求二次函数的解析式．
解：如解答图，过点D作DE⊥y轴于E
在Rt△DCE中，由勾股定理得：CD²＝DE²＋CE²＝4＋16a²，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC²＝OA²＋OC²＝25＋25a²，
设对称轴x=-2与x轴交于点F，则AF=3，
在Rt△ADF中，由勾股定理得：AD²＝AF²＋DF²＝9＋81a²．
∵∠ADC=90°，
∴△ACD为直角三角形，
由勾股定理得：AD²＋CD²＝AC²，
即（9＋81a²）＋（4＋16a²）＝25＋25a²，
化简得：a²＝1/6，
∵a＞0，
∴a＝√6/6，
∴抛物线的解析式为：y＝√6/6﹙x＋5﹚﹙x－1﹚
即 y＝√6/6x²－2√6／3·x－5√6/6。

Answer 3

解：（1）解方程x²＋4x－5＝0，得x＝﹣5或x＝1，由于x1＜x2，则有x1＝﹣5，x2＝1，
∴A（﹣5，0），B（1，0）．抛物线的解析式为：y＝a（x＋5）（x－1）（a＞0），∴对称轴为直线x＝﹣2，顶点D的坐标为（﹣2，﹣9a），令x＝0，得y＝﹣5a，∴C点的坐标为（0，﹣5a）．依题意画出图形，如右图所示，
则OA＝5，OB＝1，AB＝6，OC＝5a，过点D作DE⊥y轴于点E，
则DE＝2，OE＝9a，CE＝OE－OC＝4a．S⊿ACD＝S梯形ADEO－S⊿CDE－S⊿AOC
＝1/2﹙DE＋OA﹚·OE－1/2DE·CE－1/2OA·OC
＝1/2﹙2＋5﹚·9a－1/2×2×4a－1/2×5×5a
＝15a；
S⊿ABC＝1/2AB·OC
＝1/2×6×5a
＝15a；
∴S⊿ABC∶S⊿ACD＝1∶1。

（2）如解答图，过点D作DE⊥y轴于E在Rt△DCE中，由勾股定理得：CD²＝DE²＋CE²＝4＋16a²，在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC²＝OA²＋OC²＝25＋25a²，设对称轴x=-2与x轴交于点F，则AF=3，在Rt△ADF中，由勾股定理得：AD²＝AF²＋DF²＝9＋81a²．∵∠ADC=90°，
∴△ACD为直角三角形，由勾股定理得：AD²＋CD²＝AC²，即（9＋81a²）＋（4＋16a²）＝25＋25a²，
化简得：a²＝1/6，
∵a＞0，
∴a＝√6/6，
∴抛物线的解析式为：y＝√6/6﹙x＋5﹚﹙x－1﹚
即 y＝√6/6x²－2√6／3·x－5√6/6。