Question

奇函数f(x)的定义域为R,且在[0,+∞)上为增函数.则是否存在m,使f(2t^2-4)+f(4m-2t)＞f(0)对于t∈[0,1]……

奇函数f(x)的定义域为R,且在[0,+∞)上为增函数.则是否存在m,使f(2t^2-4)+f(4m-2t)＞f(0)对于t∈[0,1]均成立?若存在,求出m的范围;若不存在,请说理由.

要过程~~~答案是存在~，m>1~~why??

Answer 1

奇函数在x>=0为增函数，则在R上也为增函数
另一方面，奇函数有f(0)=0,所以不等式化为：
f(2t²-4)>-f(4m-2t)
由f(-x)=-f(x),上式化为：f(2t²-4)>f(2t-4m)
由增函数性质，得2t²-4>=2t-4m
即t²-t-2+2m>=0对于t在[0,1]恒成立
得m>=-(t²-t-2)/2=-1/2*(t-1/2)²+9/8=g(t)
当t=1/2时，g(t)取最大值9/8
因此m>=9/8

Answer 2

奇函数有f(0)=0;f(-x)=-f(x)
然后化为f(2t^2-4)>f(2t-4m)
由单调性：等价于2t^2-4>2t-4m，4m>4+2t-2t^2,t∈[0,1],
右边在t=1/2时取得最大值9/2，于是得m>9/8，答案是错的。