Question

用换元法简答。∫1+x分之根号xdx

这是不定积分题。我对不定积分不是很熟悉。

Answer 1

解
这个吗√x/(1+x)
令√x=t，则x=t²，dx=2tdt
∴∫√x/(1+x)dx
=∫t/(1+t²)×(2tdt)
=2∫(t²)/(1+t²)dt
=2∫(t²+1-1)/(1+t²)dt
=2∫1-1/(t²+1)dt
=2t-2arctant+C
=2√x-2arctan√x+C

追问

dx=2tdt这是怎么算的啊？

追答

dx=d(t²)=2tdt

追问

∫t/(1+t²)×(2tdt)=2∫(t²)/(1+t²)dt是把2提前了吗？有没有什么公式啊？

追答

是提前了
用到了∫1/(1+t²)dt=acrtant+C

追问

2∫1-1/(t²+1)dt这里是不是应该等于
2∫1/(t²+1)dt

追答

不是啊
2∫[(t²+1)-1]/(t²+1)dt
=2∫[1-1/(t²+1)]dt

追问

2∫1-1/(t²+1)dt
=2t-2arctant+C
我不太清楚这是=步是怎么的来的？

追答

2∫[1-1/(t²+1)]dt
=2∫1dt-2∫1/(t²+1)dt
=2t-2arctant+C