Question

如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,BE,CD相交于O,且∠1=∠2,求证:OB=OC. 变式:如

如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于O，且∠1=∠2，求证：OB=OC。

变式：如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE与CD相交于O，且OB=OC。求证：∠1=∠2。

Answer 1

　【1】因为∠B+∠BAC=∠A+∠BAC=90度 所以∠B=∠C（同角的余角相等） 又因为 ∠1=∠2 （已知） AO=AO（公共边）∠B=∠C（已证） 所以ΔABO≌ΔACO(AAS) 所以 OB=OC（全等三角形对应角相等）。 【2】∠BOD=∠COE（对顶角） ∠BDO=∠CEO=90度 OB=OC(已知) 所以ΔBOD≌ΔCOE（AAS） 所以DO=EO（全等三角形对应角相等）。 又因为 ∠ADO=∠AEO=90度（已知) AO=AO(公共边) DO=EO（已证）所以 ΔADO≌ΔAEO（HL）所以∠1=∠2（全等三角形对应角相等）。

Answer 2

（1）∵∠1=∠2
∴AO平分∠BAC
又∵CD⊥AB,BE⊥AC
∴OD=OE(角平分线上的点到角两边的距离相等)，∠BDO=∠CED
且对顶角∠DOB=∠EOC
∴△DBO≌△ECO
∴OB=OC
(2) ∵CD⊥AB,BE⊥AC
∴∠BDO=∠CEO
且对顶角∠DOB=∠EOC,OB=OC
∴△DBO≌△ECO
∴OD=OE
∴AO平分∠BAC
∴∠1=∠2

Answer 3

（1）因为∠B+∠BAC=∠A+∠BAC，所以∠B=∠C，又因为∠1=∠2且AO是公共边，所以ΔABO≌ΔACO，所以BO=CO。
（2）因为∠1=∠2，∠BDO=∠CEO，所以ΔBOD≌ΔCOE，所以DO=EO，同理ΔADO≌ΔAEO（HL）所以∠1=∠2。