Question

急！初中奥数题求解答，谢谢！

1.已知三个正方体的棱长分别等于某个长方体的长、宽和高，三个正方体体积之和与该长方体体积之比的最小值是
2.对于一个自然数n，若存在2个不同的且小于n的非0自然数x和y，使得(n+x)和(n+y）都是立方数，那么就称n是“吉祥数”。求最小的吉祥数。
3.有甲、乙两台计算机，甲计算机完成一项计算任务需要8个小时；乙计算机完成同样计算任务需要16小时；如果甲和乙同时计算，由于存在数据交换等方面的原因，它们的计算速度都会降低九分之一。已知甲计算机工作每小时耗电3度，乙计算机工作每小时耗电1度。而电表中仅有20度电，问：完成该项计算任务最少需要多少小时？
非常感谢！

Answer 1

1）求(a^3+b^3+c^3)/abc的极值
合理猜测答案是3。可以利用基本不等式和柯西不等式证明，不过说个简洁的。
a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=1/2 *(a+b+c)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)>=0 立得证。
2）设最小的n满足条件，x<y，a=n+x,b=n+y
显然n=a-1，x=1，y等于什么是无所谓的。当然n≠7，因为7+1=8 下一个立方数就是27了，27-7=19>8
总之为了y小一些，n+y不能超过n的两倍。
写几个立方数 1 8 27 64 125
64和125 是满足条件的，此时n=63 x=1 y=62。

这道题是非常简单的，只要能理解题意。我写这些字只是给你讲讲思路，其实直接写出答案就可以了。
3）联合 甲 乙
效率分别是1/6 1/8 1/16
功耗是 4 3 1
要快，就是尽量联合，其次尽量用甲，其次用乙。显然最终电被用光。所以设分别用时间为x y (20-4x-3y)
知道x/6+y/8+(20-4x-3y)/16=1
所以y=16*(1/4-x/12)=4-4/3x
目标就是求t=x+y+(20-4x-3y)=20-3x-2y的最小值代入得t=12-x/3 当然x越大越好，但是要满足条件
y=4-4/3x>=0
20-4x-3y=8>0
我们发现乙用了8小时是可以直接算出来的（其实这不奇怪，因为联合与甲的功耗比是一样的，自己琢磨一下），其实也用不到什么不等式了，你可以自己试一下。我们延续我们的思路,可以解出 x是要满足x<=3的
取x=3 于是y=0 乙用了8小时
需要3+8=11小时。
答案是11小时。分别用了3 0 8小时。

Answer 2