Question

已知a，b，c，d都是正数，求证（ab+cd）（ac+bd）>4abcd

Answer 1

证明：（ab+cd）（ac+bd）
>=2根号（abcd）X2根号（acbd）
=4abcd
当且仅当ab=cd且ac=bd
即a=b=c=d时取等号

Answer 2

a，b，c，d都是正数，
ab>0,cd>0,ac>0,bd>0
ab+cd>=2√(abcd)
ac+bd>=2√(abcd)
（ab+cd）（ac+bd）>=2√(abcd)*2√(abcd)>=4abcd

(当a=b=c=d时,取等号)

Answer 3

：(cd+ab)(ab+cd)>=(√abcd+√abcd)^2=4abcd
即(ab+cd)^2>=4abcd,所以ab+cd>=2√abcd
同理：(bd+ac)(ac+bd)>=(√abcd+√abcd)^2=4abcd
所以ac+bd>=2√abcd

所以(ab+cd)(ac+bd)>=(2√abcd)*(2√abcd)=4abcd

证毕。。

其实不管用什么不等式都是等价的，我们只不过绕了个弯得到了楼上均值的结果...