Question

如图1所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边BC上任意一点，以直线AD为对称轴，作Rt△ABC的轴对称图形

如图1所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边BC上任意一点，以直线AD为对称轴，作Rt△ABC的轴对称图形Rt△AEF，点M、点N、点P、点Q分别为AB、B C、EF、EA的中点． (1)求证：MN=PQ； (2)如图2，当BD=时，判断点M、点N、点P、点Q围成的四边形的形状，并说明理由； (3)若BC=6，请你直接写出点M、点N、点P、点Q围成的图形共有哪些形状及对应的BD的取值范围．

Answer 1

（1）∵M，N为AB,BC中点
∴MN=1/2AC
同理可得：PQ=1/2AF=1/2AC=MN
（2)解：四边形PNQM为长方形
连结BE
∵P,N关于AD对称
∴PN⊥AD
同理可得：MQ⊥AD BE⊥AD
∴PN//MQ//BE
∴可证△BED~△PND
△ABE~△AMQ
∴PN：BE=BD:DN
∵N为BC中点，D为BC三等分点
∴可得，PN:BE=BD:DN=1:0.5=2:1
∵MQ:BE=AQ:AE=1:2=PN:BE
∴MQ=PN
∴MQ//=PN
∴四边形MQNP为平行四边形
∵由（1）得，PQ=MN
∴矩形MQNP