Question

设函数y=f（x）是定义在（0,∞）上的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（1/3

设函数y=f（x）是定义在（0,∞）上的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（1/3）=1 求f（1）的值，如果f（x）+f（2-x）<2，求x的取值范围

Answer 1

（1）令x=y=1，得
f(1)=f(1)+f(1)
所以 f(1)=0。
（2）因为 f(1/3)=1
所以 f(1/9)=f(1/3)+f(1/3)=2
于是不等式
f(x)+f(2-x)<2可化为
f[x(2-x)]<f(1/9)
又f(x)是(0，+∞)上的减函数，
所以有
x>0 ①
2-x>0 ②
x(2-x)>1/9 ③
由①②得 0<x<2
解③得 1-2√2/3<x<1+2√2/3
取交集，得 x的取值范围是（1-2√2/3，1+2√2/3）