Question

类似于已知函数f(x)=3x^2-2mx-1,g(x)=|x|-7/4 (1)求证:一定存在x0∈

(-1,2),使f(x）大于0这样的问题怎么解

Answer 1

（1）本题对m进行分类1.m = 0 ，f（x）= 3x² - 1,取x0 = 1，f（x0）= 2 > 0
2.m > 0.5 或 -0.25 < m < 0，取x0 = -1/（2m），f（x0）= 3x0² > 03.0 < m ≤ 0.5，则 -2m ≥ -1，f（x）≥ 3x² - x -1，取x0 = 1，
（x0）= 1 > 0
4.m ≤ -0.25，则 -2m ≥ 0.5，f（x）≥ 3x² +0.5x -1，取x0 = 1，f（x0）= 2.5 > 0综上所述，无论m取何值时，都存在x0∈（-1,2），使f（x0）≥0
（2）

构造h（x）= f（x）-g（x），要使f（x）≥g（x），即h（x）≥ 0h（x）= 3x^2 - 2mx - 1 - |x| + 7/4 = 3x^2 - 2mx + 3/4 - |x|，当-1 < x < 0，h（x）= 3x^2 - （2m - 1）x + 3/4
由图象可知，h（x）≥ 0（-1 < x < 0）必须满足如下条件
（2m - 1）/ 6 ≤ -1,h（-1）≥0（方程组无解）或者 （2m - 1）/ 6 > 0，h（0）≥ 0（方程组的解为m ≥ 0.5）
或者 -1 < （2m - 1）/ 6 < 0，h（（2m - 1）/ 6）≥ 0（方程组的解为-1 ≤ m < 2）综上所述，为m ≥ -1 ①h（x）≥ 0（0 ≤ x < 2）必须满足如下条件
（2m - 1）/ 6 ≤ 0,h（0）≥0（方程组的解为m ≤ -0.5）
或者 （2m - 1）/ 6 > 2，h（2）≥ 0（方程组无解）或者 0 < （2m - 1）/ 6 < 2，h（（2m - 1）/ 6）≥ 0（方程组的解为-2 ≤ m ≤1）综上所述，为m ≤ 1 ②综合①②得，-1 ≤ m < 1（3）