Question

奥数问题

甲乙两人分别从A，B两地同时驾车出发相向而行。相遇后，甲继续驶向B地，乙有两种选择：若乙驶向A地，则当甲到达B地时，乙距离A地45千米；若乙立即掉头以原速驶向B地，则当甲到达B地时，乙距离B地15千米。求甲乙两地间的距离。 无图。
一个m边形的内角和是一个n边形的内角和的3倍，且这2个多边形的所有内角和是m+n边形外角和的4倍，则m²+n²=？

Answer 1

答案：（1）90千米。（2）80。

 

解：

（1）

 

两次甲都走完全程，因甲两次的路程相同，那么乙在两次中走的路程都相等。

如图所示：a-45+b=b-15+b

解得，       a-b=30千米。

相同时间内甲、乙的路程比为a：b

a，b又是相遇时甲、乙分别走过的路程，则路程差=a-b=30千米。

又因为，S甲：S乙=S：（S-45）=a：b，则全程可分成（2S-45）份。
路程差占全程的总份数a-b/(a+b)=45/（S+S-45）
                                          30/S=45/（2S-45）

                                               S=90千米。

另：也可以理解为：  
 路程差 除以 路程差占全程的总份数 = 全程，列式如下：
                            30/【45/（2S-45）】=S 

                                         S=90千米。

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列式如下：（45-15）/【45/（2S-45）】=S 

                                         S=90千米。

 

或者列式：（45-15）/S=45/（2S-45）

                                   S=90千米。

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（2）此题用到的：

1、多边形的外角和都等于360度。

2、多边形的内角和=（边的数量-2）X180度

 

（m-2）X180度=3（n-2）X180度

解得，        m=3n - 4

又，（m-2）X180度+（n-2）X180度=360度X4

将m=3n - 4代入上式得，

        （3n -4-2）X180度+（n-2）X180度=360度X4

解得，n=4。则，m=3n - 4=3X4-4=8

所以，m²+n²＝8X8+4X4=80

Answer 2

②：m边形内角和为(m-2)*180
(m-2)*180 = 3 *(n-2) * 180 

m = 3n -4   ----①
m+n边形的外角和为360（任意n边形的外角和为360）
所以 (m-2)*180 +(n-2)*180 =4 *360

m+n,=12，…………②

联立①②得n=4，m=8，m²+n²=80

Answer 3

1) 甲从相遇点跑到B的时间一定，所以两种情况下，A到相遇点和B到相遇点的距离差就是45-15=30km
所以相遇前相同时间内，甲比乙多走30km
考虑第二种情况，相遇后相同时间内，甲比乙多走15km，所以第二段时间是第一段时间的一半
所以从A到相遇点的距离是相遇点到B的距离得2倍
而两者差是30，所以相遇点到B的距离为30，总路程为30+2*30=90km

2）m边形内角和为(m-2)*180
(m-2)*180 = 3 *(n-2) * 180 => m = 3n -4 ----1)
m+n边形的外角和为(m+n)* 360 - (m+n-2)*180
所以 (m-2)*180 +(n-2)*180 =4 (m+n)* 360 -4 (m+n-2)*180
m+n-4 = 8m+8n -4m-4n +8
m+n = -4 ----2) 题目真对么?还是我哪错了？