Question

一元二次方程规律题

已知一元二次方程x2-x-4=0的两根是a、b ，设s1=a+b ，s2=a2+b2，……，sn=
an+b n（n为自然数）（1）计算：s1=________；s2=________；　s3= s4= s5 = s6= 　（2）求S3的值 n大于等于3时，Sn Sn-1 Sn-2　之间的数量关系。（3）利用得出的结论计算[(1+根5)/2]^2+[(1-根5)/2]
利用得出的结论计算[(1+根5)/2]^7+[(1-根5)/2] 改成这样

Answer 1

这题不难，直接上答案。
首先，很容易得到a+b=1，ab=-4，所以n大于等于3时，S[n-1]^2-S[n]*S[n-2]=(ab)^(n-1)*(2-b/a-a/b)=17/4*(-4)^(n-1)，所以：
（1）1 9 13 49 101 297
（2）13 S[n-1]^2-S[n]*S[n-2]=17/4*(-4)^(n-1)
（3）对于一元二次方程x2-x-1=0，用上面的方法可求得[(1+根5)/2]^2+[(1-根5)/2]^2=3

追问

利用得出的结论计算[(1+根5)/2]^7+[(1-根5)/2]改成这样 方程改成x^2一x一1＝o
要准确答案

追答

求S[n]有些麻烦，这样还是从S1慢慢求方便。
因为S1=1，S2=3，所以依次可求得：S3=4，S4=7，S5=11，S6=18，S7=29。
所以得出[(1+根5)/2]^7+[(1-根5)/2]^7=29