Question

一道数列题，题目如下！！

已知数列an的首项a1=1，且存在常数p,r,t(其中r≠0)，使得an+an+1=r·2^(n-1)与an+1=pan +pt对于任意正整数n都成立。求常数p,r,t的值，写出an通项公式

Answer 1

a(n+1)+an=r*2^(n-1) 1
a(n+1)-p*an=p*t 2
a1=1
想要求出p，r，t，只需要分别求出两个数列的通项，使其对应参数相等即可
对于数列1：
假定a(n+1)+an=r(m*2^(n+1)+m*2^n)
则3*m=1/2，m=1/6
a(n+1)-(r/6)*2^(n+1)=(-1)(an-(r/6)*2^n)
a(n)=(-1)^(n-1)(a1-r/3)+(r/6)*2^n
对于数列2：
假定a(n+1)-p*an=p*(k*t-pk*t)
则k=1/(1-p),
a(n+1)-p*t/(1-p)=p*(an-p*t/(1-p))
an=p^(n-1)(a1-p*t/(1-p))+p*t/(1-p)

比较两式，由于r≠0，则数列2常数项必须为0
根据通项，p≠0，得出t=0，可进一步推出p=2，r=3
代入得到，an=2^(n-1)