Question

一道高中数学题，请学霸解决。

Answer 1

解 (1)延长DM交D1A1的延长线于E，连接NE，则NE即为所求的直线l.依据如下： ∵E∈直线DM，直线DM?平面DMN， ∴E∈平面DMN. 又E∈直线A1D1，直线A1D1?平面A1B1C1D1， ∴E∈平面A1B1C1D1. ∴E为平面A1B1C1D1与平面DMN的公共点． ∵平面A1B1C1D1∩平面DMN＝l，∴E∈l. 同理可证N∈l. ∴直线EN就是所求的直线．

 (2)∵M为AA1的中点，且AD‖ED1，∴AD＝A1E＝A1D1＝a. 又∵A1P‖D1N，且D1N＝a，∴A1P＝D1N＝a，∴PB1＝A1B1－A1P＝a. 即线段PB1的长为a.

Answer 2

（1）DM在平面ADD1A1内且不与A1D1平行，则两线必相交，延长DM交D1A1于点E，显然EA1=A1D1，连接EN，则EN所在直线即直线L，原因：两点E、N既属于面DMN又属于面A1B1C1D1，则两点位于两面交线上，又相异两点决定一条直线，故而。
（2）EN∩A1B1=P，则PA1=1/2ND1，即PA1=1/4 a，则PB1=3/4 a

Answer 3

过A作DN的平行线交A1B1于E，则E平分A1B1，过M作AE的平行线，交A1B1于P，且平分A1E，则MP在平面DMN上，连结PN，则PN为所画直线L
由作图可知，PB1=B1E+EP=1/2A1B1+1/2A1E=1/2A1B1+1/4A1B1=3/4A1B1=3/4a

Answer 4

取A1P=1/4A1B1，连接PN，PN即为过DMN的平面与正方体下底面的交线。因为MP//DN，故M，P，N，D共面，且PN在底面上。所以PN为交线。
显然，PB1=3/4a

Answer 5

太简单了：延长DM与D1A1相交于点H，再连接HN，即为L，交A1B1与点P。且P为A1B1的中点。