Question

设系数矩阵的秩为r的含有n个未知量的非齐次线性方程组Ax=b，

设系数矩阵的秩为r的含有n个未知量的非齐次线性方程组Ax=b，其中a是Ax=b的一个解，a1,a2,...,a(n-r)是它的导出组的一个基础解系，证明：
(1)a,a1,a2,...,a(n-r线性无关;
(2)a,a+a1,a+a2,...,a+a(n-r线性无关
证明：
(1)a,a1,a2,...,a(n-r)线性无关;
(2)a,a+a1,a+a2,...,a+a(n-r)线性无关

Answer 1

忘了，导出组是什么意思
（1）a1,a2,...,a(n-r)是它的导出组的一个基础解系，则有a1,a2,...,a(n-r)线性无关
假设a0,a1,a2,...,a(n-r)线性相关，所以a0能由a1,a2,...,a(n-r)唯一表示
因为a1,a2,...,a(n-r)是Ax=0的一个解系，从而a0是Ax=0的解
与a0是非齐次方程组Ax=b的一个解矛盾，所以
假设不成立，结论成立。
（2）a1,a2,...,a(n-r)设存在k，k1，k2，···，k（n-r）个数使得
ka+k1（a+a1）+k2（a+a2）+···+k（n-r）（a+a(n-r)）=0成立
（k+k1+k2+···+k(n-r)）a+k1a1+k2a2+···+k（n-r）a（n-r）=0
由（1）得a,a1,a2,...,a(n-r)线性无关，则有k+k1+k2+···+k(n-r)=k1=k2=···=k（n-r）=0，
则有k=0，即k=k1=k2=···=k（n-r）=0，所以a,a+a1,a+a2,...,a+a(n-r)线性无关