Question

高数 多重积分的问题 这个题目为什么这么做

这类题目怎么会是这个思路 为什么会有红线部分的过程 整个思路是什么 我看很多不是都是投影的方法吗 绿线部分更是不懂了 都是什么意思啊 详细告诉我一下 谢谢

Answer 1

追问

我就当结论记住算了  那他后面的怎么转换过来的

这个4  还有怎么确定这些上下限

追答

积分区域在XOY的投影，即Dxy方程为圆x^2+y^2=ax
极坐标下的方程就是ρ^2=aρcosθ→ρ=acosθ这是上限 下限为0
Dxy是关于x轴对称的 被积函数是关于y的偶函数故就是 Dxy x轴上半部分区域的积分的两倍
2*2=4 你前面也有个2
而x轴上半部分区域里θ范围是0~π/2 看图得到 注意要从极点出发

我发现你老在问区域 上下限的问题········都是差不多的 你自己要体会啊······我还给你总结过了 怎么考虑积分区域 要自己再仔细看看 自己领悟一套自己的思路

追问

我对 区域是不懂 就是很多时候图像不知道 比如你这里说的 Dxy是关于x轴对称的 被积函数是关于y的偶函数故就是 Dxy x轴上半部分区域的积分的两倍 Dxy到时是哪个个函数？ 基础不好 还请莫怪

追答

积分区域 是区域， 即是由一些函数图像围成的；而所求的上下限其实就是区域的边界。

通过对积分区域通俗的描述，你应该明白，所谓的上下限就是边界函数，但请注意形式

例如下面

这是X型。但你做题，看题，都不要去看这是X型还是Y型，还是两个都是。这只是一种概念而已，不要理会，我们只讲做题的习惯。上面的例子边界是关于x的函数

二重积分的区域一般都很好画，区域边界大部分可以由图分析，很清楚。按自己的习惯，比如上图是把y看做关于x的函数，即y=y（x)  确定好要怎么看了之后（专业点讲，这一步就是确定X ，Y型）然后看上下限，自左向右为x的范围   自下而上为y的范围，结合图是不是很好判断。若积分区域很复杂，你就分割，分成好判断边界的

上述是二重积分的基础，基础打好了，再看极坐标下的二重积分，奇偶性，极坐标和奇偶性都是便于计算的方法而已。然后就是物理意义，几何意义。如面积，质量，转动惯量等，根据自己的专业方向选择性掌握，说白了高数就是工具，不需要的话，不理会。

三重积分：无非就是把三重积分化为二重再算，化成二重的方法就是投影法，截面法。详细书上有。投影法里，那个投影的区域就是二重积分了；截面法，截面就是二重积分了。同理，这些熟练之后，就是极坐标，对称，物理几何意义。

至于对称，极坐标，之前你也问过，这里不说了。如果还不懂，具体详细问

回到具体问题，一个一个来说 Dxy是题中球面含在柱面的曲面在XOY上的投影（区别于三重积分的投影法，因为求曲面面积要用到投影，而三重积分被积区域是个体）投影的边界曲线是怎么得到的，在空间解析几何那张有，简单点说在XOY上的投影就是z=0其他不变；题中就是x^2+y^2=ax；确定好区域后就按部就班做二重积分计算吧，本题中被积函数（解答步骤里）为f（x,y)=a/√（a^2-x^2-y^2)  因为很好判断为偶函数。据二重积分奇偶性（参考书上，网上都有，若不明白再问）可得到两倍关系

  

重要在理解，和自己领悟出自己思考的方法。以上是我的思路，希望对你这块的学习有帮助。

重在自己，不要生搬硬套书上的公式