Question

已知:△ABC的两边AB,AC的长是关于x的一元二次方程x-（2k+1）x+k（k+1）=0的实

已知:△ABC的两边AB,AC的长是关于x的一元二次方程x-（2k+1）x+k（k+1）=0的实数根，第三边BC的长为5
⑴k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
⑵k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求此时△ABC的周长

Answer 1

∵x^2-(2k+1)x+k（k+1）=0
∴﹙x－k﹚[x－﹙k＋1﹚]＝0
∴x1＝k,x2＝k＋1
∴AB＝k,AC＝k＋1(不妨设AB＜AC)
⑴若三角形ABC是以BC为斜边的直角三角形，则BC²＝AB²＋AC²
∴5²＝k²＋﹙k＋1﹚²＝2k²＋2k＋1即k²＋k－12＝0
解得k＝3或k＝﹣4（舍去）
∴k＝3时，三角形ABC是以BC为斜边的直角三角形；
⑵若AB=BC=5，则k＝5,等腰△ABC的周长＝5＋6＋5＝16；
若AC=BC=5，则k＝4,等腰△ABC的周长＝周长＝4＋5＋5＝14；

Answer 2

证明
△=b²-4ac
=[-(2k+1)]²-4(k²+k)
=4k²+4k+1-4k²-4k
=1>0
∴方程有两个不相等实根
∵ab,ac是方程的两个实数根
∴ab+ac=2k+1，ab×ac=k²+k
∵△abc是等腰三角形
若ab=bc=5，
则5+ac=2k+1
即ac=2k-4
5ac=k²+k
∴5(2k-4)=k²+k
∴k²-9k+20=0
(k-4)(k-5)=0
∴k=4或k=5
同理bc=ac=5，求的k=4，k=5
∴k=4或k=5