Question

如图，在三角形ABC中，角ACB是直角，角B=60度，AD，CE分别是角BAC，角BCA的平分线，

如图，在三角形ABC中，角ACB是直角，角B=60度，AD，CE分别是角BAC，角BCA的平分线，AD与CE相交于点F，FG垂直于AB，FH垂直于BC，垂足分别为G，H。求证:FE=FD。

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Answer 1

题目似乎不完整啊
在△abc中,∠b=60°,∠bac,∠acb的平分线ad,ce相交于点o,求证,ae+cd=ac
是这个吗?
因为∠b+∠acb+∠bac=180
,∠b=60°
所以∠acb+∠bac=120
因为∠bac,∠acb的平分线ad,ce相交于点o
所以∠cao+∠aco=60
因为∠cao+∠aco+∠aoc=180
所以∠aoc=120
因为∠aoc=∠bad+∠aeo=∠bce+∠cdo
所以∠cod+∠aoe=120
因为∠cod=∠aoe
所以∠cod=∠aoe=60
作∠aoc的角平分线of
证△aeo全等△afo,得ae=af
证△cdo全等△cfo,得cd=cf
所以ae+cd=ac
全等的地方我省略了

Answer 2

分析：①首先过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，根据角平分线的性质，可得FM=FN，又由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，求得∠NEF=75°=∠MDF，又由∠DMF=∠ENF=90°，利用AAS，即可证得△DMF≌△ENF，由全等三角形的对应边相等，即可证得FE=FD；
②过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，根据角平分线的性质，可得FN=FM，由∠ABC=60°，即可求得∠MFN=120°，∠EFD=∠AFC=120°，继而求得∠DFM=∠DFE，利用ASA，即可证得△DMF≌△ENF，由全等三角形的对应边相等，即可证得FE=FD．
解答：解：①相等，
过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，
∵F是角平分线交点，
∴BF也是角平分线，
∴MF=FN，∠DMF=∠ENF=90°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠BAC=30°，
∴∠DAC=1 2 ∠BAC=15°，
∴∠CDA=75°，
∵∠MFC=45°，∠MFN=120°，
∴∠NFE=15°，
∴∠NEF=75°=∠MDF，
在△DMF和△ENF中，
∠DMF=∠ENF ∠MDF=∠NEF MF=NF ，
∴△DMF≌△ENF（AAS），
∴FE=FD；

②成立．
过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，
∵F是角平分线交点，
∴BF也是角平分线，
∴MF=FN，∠DMF=∠ENF=90°，
∴四边形BNFM是圆内接四边形，
∵∠ABC=60°，
∴∠MFN=180°-∠ABC=120°，
∵∠CFA=180°-（∠FAC+∠FCA）=180°-1 2 （∠ABC+∠ACB）=180°-1 2 （180°-∠ABC）=180°-1 2 （180°-60°）=120°，
∴∠DFE=∠CFA=∠MFN=120°．
又∵∠MFN=∠MFD+∠DFN，∠DFE=∠DFN+∠NFE，
∴∠DFM=∠NFE，
在△DMF和△ENF中，
∠DMF=∠ENF MF=NF ∠DFM=∠NFE
∴△DMF≌△ENF（ASA），
∴FE=FD．