Question

已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn十n=2an(n∈N*)

1)证明:数列{an十1}为等比数列,并求数列{an}的通项公式。
2)若bn=n×(an十1),求数列{bn}的前n项的和 Tn？

Answer 1

（1）
在Sn十n=2an中，令n=1得a1+1=2a1所以a1=1
n≥2时
Sn十n=2an
S(n-1)+(n-1)=2a(n-1)
两式相减得an +1=2an-2a(n-1)
即an -1=2a(n-1)
两边同时加上2得an +1=2[a(n-1)+1]
又a1 +1=2≠0
所以an +1≠0
所以(an +1)/[a(n-1)+1]=2
所以{an十1}是以2为首项，2为公比的等比数列
an +1=2×2^(n-1)=2^n
an=2^n -1
（2）bn=n×2^n
Tn=1*2+2*2^2+...+n*2^n
2Tn= 1*2^2+...+(n-1)*2^n+n*2^(n+1)
相减
-Tn=2+2^2+……+2^n-n*2^(n+1)
=2(1-2^n)/(1-2)-n*2^(n+1)
=2^(n+1) -2-n*2^(n+1)
=(1-n)2^(n+1) -2
所以Tn=(n-1)2^(n+1) +2

Answer 2

1.
Sn+n=2an
Sn=2an-n
n=1时，a1=S1=2a1-1
a1=1
n≥2时，
an=Sn-S(n-1)=2an-n-[2a(n-1)-(n-1)]
an=2a(n-1)+1
an+1=2a(n-1)+2=2[a(n-1)+1]
(an+1)/[a(n-1)+1]=2，为定值
a1+1=1+1=2，数列{an +1}是以2为首项，2为公比的等比数列
an +1=2×2^(n-1)=2ⁿ
an=2ⁿ-1
数列{an}的通项公式为an=2ⁿ-1
2.
bn=n×(an+1)=n×2ⁿ
Tn=b1+b2+...+bn=1×2+2×2^2+3×2^3+...+n×2ⁿ
2Tn=1×2^2+2×2^3+...+(n-1)×2ⁿ+n×2^(n+1)
Tn-2Tn=-Tn=2+2^2+2^3+...+2ⁿ -n×2^(n+1)
=1+2+2^2+...+2ⁿ-n×2^(n+1) -1
=1×[2^(n+1)-1]/(2-1) -n×2^(n+1) -1
=(1-n)×2^(n+1) -2
Tn=(n-1)×2^(n+1) +2

Answer 3

请问第一题是下标的n+1吗？第二题也一样？