Question

在四边形ABCD中，AB平行于CD，AD平行于BC，点E是线段BC的中点，点F在边CD上，AE平分

在四边形ABCD中，AB平行于CD，AD平行于BC，点E是线段BC的中点，点F在边CD上，AE平分角BAF;
如图2，若角ADC=120度，DA=DF，作DG⊥AE于G，H为AF上一点，连接GH、HE，SΔAEF=2SΔAHE，作HK⊥HG交AE于点K，试探究HK和EF的数量关系，并证明你的结论。

Answer 1

证明：∵S△AEF=2S△AHES△EHF=S△AHEAH=HF。
∵∠ADC=120°，DA=DF∠DAF=∠DFA=30°。
过点E作EM⊥AB于M，EN⊥CD于N，EI⊥AF于I。
∵EB=EC，AE平分∠BAF。
∴易得EM=EN=EI。
∵EF=EF。
∴RtΔEIF≌RtΔENF∠EFI=∠EFN=75°。
又易证∠EAF=∠EAB=15°。
∴∠AEF=90°。
综上有AH=HF=HE。
设EF=1，则AF=EF/cos∠AFE=1/cos75°=√6+√2。AH=HF=HE=（√6+√2）/2。
连接DH。易得DH⊥AF。∵DG⊥AE。
∴A、G、H、D四点共圆∠GAH=∠HDG=15°AG=DG，∠ADG=∠AHG=45°。
∵∠HK⊥HG∠AHK=90°+45°=135°∠AKH=30°。
在ΔAHK中，由正弦定理得：AH/sin∠AKH=HK/sin∠KAH[（√6+√2）/2）/sin30°=HK/sin15°（sin15°=cos75°）HK=1=EF。（注：中间省略了一些简单的过程。至于sin15°、cos75°是我平时积累所得，也可通过解直角三角形构造15°角和75°角，在构造30°角求得。纯几何方法步骤更多，希望你能够采纳，实在太辛苦了！）