Question

若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)

若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x),求它的周期，请解释一下具体方法
谢谢
还有函数y=f(x)满足f(x+a)=正负1除以f(X),则fx为周期函数，求周期

Answer 1

函数图像是关于直线x＝a对称的
f(2a－x)＝f(x)也是函数图像关于直线x＝a对称
f(2a－x)+f(x)＝2b和f(a－x)+f(a+x)＝2b函数图像关于点(a，b)对称
形如f(x+a)＝f(x－a)或f(x+2a)＝f(x)或f(x+a)＝±1/f(x)等 函数的周期T＝2a

∵f(x+a)＝±1/f(x) ①
∴f(x)＝±1/f(x－a) ②
②变形得f(x－a)＝±1/f(x) ③
由①③得f(x+a)＝f(x－a)
∴T＝2a

Answer 2

你没有给出奇偶性，
我只能给出f(x+a)=f(x-a)的周期
令t=x-a
x+a=t+2a
f(t)=f(t+2a)
即f(x)=f(x+2a)
f(x)的周期是2a

追问

f(a+x)=f(a-x)是奇函数，且为周期函数求它的周期

追答

一般的，f(x+a)=-f(x)，周期是2*|a|
证明：
f(x+a)=-f(x)
用x+a代替上式中的x，
f[(x+a)+a]=-f(x+a)=f(x)
即，f(x+2a)=f(x)
所以，f(x)的周期是|2a|

还可以扩展到：
f(x+a)=-f(x+b)，周期为2*|a-b|............................................(1)
证明：
f(x+a)=-f(x+b)
用(x-b)代替上式中的x得：
f(x+a-b)=-f(x-b+b)=-f(x)
用x+a-b代替上式中的x
f[(x+a-b)+a-b]=-f(x+a-b)=f(x)
f[x+2(a-b)]=f(x)
所以周期是 2|a-b|

回到你提的问题：
奇函数，
f(x+a)=f(a-x)=-f(x-a)
用x+a代替上式中的x，
f(x+2a)=-f(x)
用x+2a代替上式中的x
f[(x+2a)+2a]=-f(x+2a)=f(x)
f(x+4a)=f(x)
周期是4|a|

也可以直接运用结论(1)，周期为2*|a-(-a)|=4*|a|