Question

设函数f（x）具有连续的二阶导数，且f'(0)=0,limf''(x)/|x|=1,则f(0)是f(x)的极小值

其中lim是x趋向于0时的极限。一般解题思路是通过f''(x)在0的邻域内>0得出f'(x)在0的邻域内递增，再根据x<0时, f'(x)<f'(0)=0, 而当x>0时, f'(x)>f'(0)=0, 得到f(0)是极小值。那可否从这道题中判断出lim f''(x)是大于零还是等于零（x趋于0）？因为limf''(x)/|x|=1意味着f''(x)与|x|是等价无穷小，则当x趋于0时lim f''(x)也等于0？这样理解再根据连续性可得f''(0)等于0就不是最小值了。请知道的帮忙解释一下，谢谢！

Answer 1

imf''(x)/|x|=1表明x=0附近（即某邻域），f''(x)/|x|>0， f''(x)>0， f'(x)递增， x<0， f'(x)<f'(0)=0，x>0， f'(x)>f'(0)=0，所f(0)极值。

极值是一个函数的极大值或极小值。如果一个函数在一点的一个邻域内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值。

如果它比邻域内其他各点处的函数值都大（小），它就是一个严格极大（小）。该点就相应地称为一个极值点或严格极值点。

扩展资料：

若函数f(x)在x₀的一个邻域D有定义，且对D中除x₀的所有点，都有f(x)<f(x₀)，则称f(x₀)是函数f(x)的一个极大值。

同理，若对D的所有点，都有f(x)>f(x₀)，则称f(x₀)是函数f(x)的一个极小值。

函数在其整个定义域内可能有许多极大值或极小值，而且某个极大值不 一定大于某个极小值。函数的极值 通过其一阶和二阶导数来确定。

对于一元可微函数f (x)，它在某点x0有极值的充分必要条件是f(x)在x0的某邻域上一阶可导，在x0处二阶可导，且f'(X0)=0，f"(x0)≠0。

参考资料来源：百度百科——极值

Answer 2

先说解法：

关于其它一些东西：

(1) 确实有 f''(0) = 0

(2) 一般来讲（不针对这道题），当 f‘’(0) = 0 时，即可能是极小值，也可能是极大值，也可能不是极值。比如：2-3阶导数都是0，但4阶导数连续且大于0，则它仍然是极小值（证法与这道题类似，都是泰勒展开）。例如函数：f(x) = x^4

(3) 这道题比较特殊，f''(0) = 0，仍能推出在一个邻域内，f''(x) > 0，成为是极小值的关键。

追问

谢谢您的帮助，让我弄明白了之前的困惑，也从另一个角度解答了该题。顺便问一下，您是在什么软件中编写式子的，谢谢。

追答

这就是 word 附带的公式编辑器。:D

Answer 3

limf''(x)/|x|=1表明x=0附近（即某邻域）f''(x)/|x|>0, f''(x)>0, f'(x)递增, x<0, f'(x)<f'(0)=0, x>0, f'(x)>f'(0)=0, 所f(0)极值

希望对你有所帮助 还望采纳~~