Question

已知：如图，△DAC、△EBC均是等边三角形，点A、C、B在同一条直线上，且AE、BD分别与CD、CE交于点M、N.

已知：如图，△DAC、△EBC均是等边三角形，点A、C、B在同一条直线上，且AE、BD分别与CD、CE交于点M、N. 求证：（1）AE=DB；（2）△CMN为等边三角形.

Answer 1

证明略

证明：(1)∵△ DAC 、△ EBC 均是等边三角形， ∴ AC ＝ DC ， EC ＝ BC ，∠ ACD ＝∠ BCE ＝60°，…………  2分 ∴∠ ACD +∠ DCE ＝∠ BCE +∠ DCE ， 即∠ ACE ＝∠ DCB ．                  ………………  3分 在△ ACE 和△ DCB 中， ∴△ ACE ≌△ DCB (SAS)．             …………  5分 ∴ AE ＝ DB ．                          ………………  6分 (2)由(1)可知：△ ACE ≌△ DCB ， ∴∠ CAE ＝∠ CDB ， 即∠ CAM ＝∠ CDN ．              ………………  7分 ∵△ DAC 、△ EBC 均是等边三角形， ∴ AC ＝ DC ，∠ ACM ＝∠ BCE ＝60°． 又点 A 、 C 、 B 在同一条直线上， ∴∠ DCE ＝180°－∠ ACD －∠ BCE ＝180°－60°－60°＝60°， 即∠ DCN ＝60°．                                   ∴∠ ACM ＝∠ DCN ．                     …………  8分 在△ ACM 和△ DCN 中， ∴△ ACM ≌△ DCN (ASA)．          ………………  10分 ∴ CM ＝ CN ．                  ………………  11分 又∠ DCN ＝60°， ∴△ CMN 为等边三角形．                      ……………12分