Question

如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB，PD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面PCE；（Ⅱ）若PA=

如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB，PD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面PCE；（Ⅱ）若PA=AD且AD=2，CD=3，求P-CE-A的正切值．

Answer 1

证明：（Ⅰ）取PC中点M，连ME，MF
∵FM∥CD，FM=

1

2

CD，AE∥CD，AE=

1

2

CD
∴AE∥FM，且AE=FM，即四边形AFME是平行四边形
∴AF∥EM，
∵AF?平面PCE
∴AF∥平面PCE…（6分）
（Ⅱ）延长DA，CE交于N，连接PN，过A作AH⊥CN于H连PH．
∵PA⊥平面ABCD，∴PH⊥CN（三垂线定理）
∴∠PHA为二面角P-EC-A的平面角…（8分）
∵AD=2，CD=3
∴CN=5，即EN=

5

2

，PA=AD
∴PA=2，∴AH=

AN?AE

EN

=

2? 3 2

5 2

=

6

5

∴tan∠PHA=

PH

AH

=

2

6 5

=

5

3

∴二面角P-EC-A的正切值为

5

3

．…（12分）