Question

已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S5=3a5-2，又a1，a2，a5依次成等比数列，数列{bn}满足

已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S5=3a5-2，又a1，a2，a5依次成等比数列，数列{bn}满足b1=-9，bn+1＝bn+k2an+12，（n∈N+）其中k为大于0的常数．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）记数列an+bn的前n项和为Tn，若当且仅当n=3时，Tn取得最小值，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）设等差数列{a_n}的公差为d，则S₅=5a₁+10d
∵S₅=3a₅-2=3（a₁+4d）-2=3a₁+12d-2
∴5a₁+10d=3a₁+12d-2
∴a₁=d-1
∵a₁，a₂，a₅依次成等比数列
∴a₂²=a₁a₅即（a₁+d）²=a₁（a₁+4d）
化简得：d=2a₁
∴a₁=1，d=2
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1
∴bn+1＝bn+

k

2 an+1 2

＝bn+

k

2n

∴bn+1?bn＝

k

2n

当n≥2时，bn?bn?1＝

k

2n?1

bn?1?bn?2＝

k

2n?2

b2?b1＝

k

2

∴bn?b1＝

k

2n?1

+

k

2n?2

+

k

2

＝k×(

2n?1?1

2?1

×

1

2n?1

)＝k×

2n?1?1

2n?1

＝k?

2k

2n?1

∴bn＝?9+k?

2k

2n?1

当n=1时，b₁=9满足上式
∴bn＝?9+k?

2k

2n?1

(n∈N*)
（2）∵a_n=2n-1，bn＝?9+k?

k

2n?1

(n∈N*)
∴(an+1+b