Question

将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合

将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB=23，P是线段AC上的一个动点．（1）当点P运动到∠ABC的平分线上时，连接DP，求DP的长；（2）当点P在运动过程中出现PD=BC时，∠PDA=______；（3）当PC=______时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上，此时?DPBQ的面积=______．

Answer 1

解：在Rt△ABC中，AB=2

3

，∠BAC=30°，
∴BC=

3

，AC=3．
（1）如图（1），作DF⊥AC．
∵Rt△ACD中，AD=CD，
∴DF=AF=CF=

3

2

．
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC=30°，
∴CP=BC?tan30°=1，
∴PF=

1

2

，
∴DP=

PF2+DF2

=

10

2

．

（2）当P点位置如图（2）所示时，
根据（1）中结论，DF=

3

2

，∠ADF=45°，
又∵PD=BC=

3

，
∴cos∠PDF=

DF

PD

=

3

2

，
∴∠PDF=30°．
∴∠PDA=∠ADF-∠PDF=15°．
当P点位置如图（3）所示时，同（2）可得∠PDF=30°．
∴∠PDA=∠ADF+∠PDF=75°．
故∠PDA的度数为15°或75°；

（3）当点P运动到边AC