Question

微分方程y″+2y′+5y=0的通解为______

微分方程y″+2y′+5y=0的通解为______．

Answer 1

微分方程y″+2y′+5y=0的通解为y=e^(-x)*(C1*cos2x+C2*sin2x)。

解：对于二阶常系数齐次常微分方程，常用方法是求出其特征方程的解。

因此，y″+2y′+5y=0的特征方程为r^2+2r+5=0，

可求得，r1=1+2i，r2=1-2i。

而r1≠r2，且r1与r2为共轭复数根。

那么微分方程y″+2y′+5y=0的通解为，

y=e^(-x)*(C1*cos2x+C2*sin2x)。

扩展资料：

微分方程的解

1、一阶线性常微分方程的解

对于一阶线性常微分方程y'+p(x)y+q(x)=0，可知其通解为y=C(x)*e^(-∫p(x)dx)。然后将这个通解代回到原式中，即可求出C(x)的值。

2、二阶常系数齐次常微分方程的解

对于二阶常系数齐次常微分方程，常用方法是求出其特征方程的解。

对于二阶常系数齐次常微分方程y''+py'+qy=0，可求得其通解为y=c1y1+c2y2。

然后可通过其特征方程r^2+pr+q=0来求解二阶常系数齐次常微分方程的通解。

（1）当r1=r2，则有y=(C1+C2*x)e^(rx)，

（2）当r1≠r2，则有y=C1*e^(r1x)+C2*x*e^(r2x)

（3）在共轭复数根的情况下，y=e^(αx)*(C1*cos(βx)+C2*sin(βx))

参考资料来源：百度百科-微分方程

Answer 2

特性方程为
λ²+2λ+5=0，
求解可得 λ_1，2=-1±2i．
由线性微分方程解的结构定理可得，原方程的通解为
y=e^-x（C₁cos2x+C₂sin2x）．
故答案为 y=e^-x（C₁cos2x+C₂sin2x）．

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 4

特性方程为
λ²+2λ+5=0，
求解可得 λ_1，2=-1±2i．
由线性微分方程解的结构定理可得，原方程的通解为
y=e^-x（C₁cos2x+C₂sin2x）．
故答案为 y=e^-x（C₁cos2x+C₂sin2x）．