Question

如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PA=AD=a．（1）求证

如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PA=AD=a．（1）求证：MN∥平面PAD；（2）求证：平面PMC⊥平面PCD．

Answer 1

证明：（1）设PD的中点为E，连接AE、NE，
由N为PC的中点知EN

∥

.

1

2

DC，
又ABCD是矩形，∴DC

∥

.

AB，∴EN

∥

.

1

2

AB
又M是AB的中点，∴EN

∥

.

AM，
∴AMNE是平行四边形
∴MN∥AE，而AE?平面PAD，NM?平面PAD
∴MN∥平面PAD
证明：（2）∵PA=AD，∴AE⊥PD，
又∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴CD⊥PA，而CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥AE，∵PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD，
∵MN∥AE，∴MN⊥平面PCD，
又MN?平面PMC，
∴平面PMC⊥平面PCD．