Question

设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：（1）1a+1b+1c≥9  ...

设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：（1）1a+1b+1c≥9 （2）ab+bc+ac≤13．

Answer 1

解答：证明：（1）∵a+b+c=1，
∴

1

a

+

1

b

+

1

c

=（a+b+c）（

1

a

+

1

b

+

1

c

）=3+（

b

a

+

a

b

）+（

c

a

+

a

c

）+（

c

b

+

b

c

），
∵a、b、c均为正数，
∴

b

a

+

a

b

≥2，

c

a

+

a

c

≥2，

c

b

+

b

c

≥2，
代入上式，得

1

a

+

1

b

+

1

c

≥9          
（2）∵a，b，c均为正数，
∴a²+b²≥2ab，
a²+c²≥2ac，
b²+c²≥2bc，
以上三式累加得：2（a²+b²+c²）≥2（ab+ac+bc），
∴a²+b²+c²≥ab+ac+bc；①
又a+b+c=1，
∴（a+b+c）²=a²+b²+c²+2（ab+ac+bc）=1≥3（ab+bc+ca），
∴ab+bc+ca≤

1

3

（当且仅当a=b=c=

1

3

时取“=”）．